Encore les formules de duplication - Corrigé

Énoncé

Soit  $x$  un réel.

1. En utilisant les formules d'addition et de duplication, démontrer que : $\cos (3x)=4{\cos }^3(x)-3\cos (x)$ .

2. Déterminer une expression de $\sin (3x)$  en fonction de $\sin (x)$ .

Solution

Soit  $x$ un réel.

1. En écrivant $3x=2x+x$ , on a :
$\begin{array}{rl}\cos (3x)=\cos (2x+x)& =\cos (2x)\cos (x)-\sin (2x)\sin (x)\\ & =(2{\cos }^2(x)-1)\cos (x)-2\sin (x)\cos (x)\sin (x)\\ & =2{\cos }^3(x)-\cos (x)-2{\sin }^2(x)\cos (x)\\ & =2{\cos }^3(x)-\cos (x)-2(1-{\cos }^2(x))\cos (x)\\ & =2{\cos }^3(x)-\cos (x)-2\cos (x)+2{\cos }^3(x)\\ & =4{\cos }^3(x)-3\cos (x)\end{array}$
donc $\cos (3x)=4{\cos }^3(x)-3\cos (x)$ .

2. On a :
$\begin{array}{rl}\sin (3x)=\sin (2x+x)& =\sin (2x)\cos (x)+\cos (2x)\sin (x)\\ & =2\sin (x)cos(x)\cos (x)+(1-2{\sin }^2(x))\sin (x)\\ & =2\sin (x){\cos }^2(x)+\sin (x)-2{\sin }^3(x)\\ & =2\sin (x)(1-{\sin }^2(x))+\sin (x)-2{\sin }^3(x)\\ & =2\sin (x)-2{\sin }^3(x)+\sin (x)-2{\sin }^3(x)\\ & =-4{\sin }^3(x)+3\sin (x)\end{array}$
donc $\sin (3x)=-4{\sin }^3(x)+3\sin (x)$ .